Die Welt der Fraktale – ein interaktiver Vortrag der Uni Bonn an der MSE

Die Welt der Fraktale – ein interaktiver Vortrag von der Universität Bonn an der Marienschule Euskirchen

Drei Studentinnen und ein Student von der Universität Bonn kamen am 26.02.2018 an die Marienschule, um den Schülern aus den beiden Mathe-Lks der Q1 sowie dem Mathe-LK der Q2 eine Einführung zum Thema Fraktale zu geben und diesen dadurch die mathematische Arbeit an der Uni näher zu bringen.

Erfahrungsbericht Q1 (L. Sina und R. Skrippek): Zur Einführung wurde uns der Beweis „vollständige Induktion“ erklärt, da wir diesen zum Verständnis von Fraktalen benötigten. Nachdem wir dazu ein paar Rechnungen gemacht hatten, wiederholten wir das Rechnen mit dem natürlichen Logarithmus. Als allen Schülern dieses Thema wieder präsent war, konnten wir uns mit dem eigentlichen Thema, und damit auch mit den ersten Fraktalen, beschäftigen.

Fraktale sind sich immer wiederholende mathematische Muster. Es gibt auch natürliche Fraktale, wie zum Beispiel Farnblätter, welche jedoch im Gegensatz zu mathematischen Fraktalen nicht unendlich sind. Im Folgenden zeichneten wir drei verschiedene Fraktale, den Cantorstaub, die Kochkurve und das Sierpinski-Dreieck, und rechneten die Regelmäßigkeiten aus. Aus zeitlichen Gründen beschränkten wir uns auf die ersten 3-4 Iterationen (Teilungsschritte), zumal dies auch ausreichte, um sich ein Bild des gesamten Fraktals machen zu können.

Zum Schluss beschäftigten wir uns mit Fraktalen unterschiedlicher Dimensionen, sprich 1-, 2- und 3-dimensionalen Fraktalen. Aus den Zusammenhängen zwischen der Dimension d, dem Verkleinerungsfaktor n und der Anzahl der zerlegten Teile k ergab sich die Formel . Um die Selbstähnlichkeitsdimension d eines Fraktals ausrechnen zu können, formten wir die Formel nach d um. Diese Formel wandten wir auf die zuvor untersuchten Fraktale an und konnten so deren Dimensionen bestimmen.

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Erfahrungsbericht Q2 (Johannes Bosche): Angefangen von erkennbaren Strukturen und Mustern in der Natur stiegen die Bonner Mathematik-Studenten Pascal und Jessica mit uns auf einfachem Niveau in das Thema der Fraktale ein.

Nach der Einführung mit Hilfe der natürlichen Beispiele erläuterten die beiden uns die mathematischen Fraktale. Dazu wurden wir in drei Gruppen eingeteilt, in denen wir bis zum Ende der zweistündigen Veranstaltung arbeiteten. Jede Gruppe erhielt einen Ansatz als Arbeitsauftrag, durch den jeweils ein mathematisches Modell mit den Eigenschaften eines Fraktals erarbeitet werden sollte. Die Gruppenergebnisse wurden anschließend an der Tafel verglichen, mit einer Variablen verallgemeinert und durch eine Grenzwertbetrachtung im Unendlichen erforscht.

Der nächste und letzte Schritt baute auf dem bisher Gelernten auf: Auf der Karte von Großbritannien lässt sich eine annähernd fraktale Struktur erkennen. Mit Bleistift und Geodreieck ausgerüstet bestand nun unsere Aufgabe darin, die Küstenlänge zu berechnen, indem Punkte in bestimmten Abständen verbunden und die Verbindungsstrecken aufaddiert wurden. Je nach Gruppe wurden die Messabstände immer kleiner und die Ergebnisse damit genauer. Nachdem nun an der Tafel die Resultate zusammentragen worden waren, ergab sich, dass die Länge der Küste immer länger wurde, je genauer man sie maß. Ein kurzer Austausch darüber, ob die Küstenlänge als unendlich gemessen werden könnte, wenn man sie unendlich genau messen würde und der Entschluss, dass dies natürlich nicht möglich sei, beendete den Workshop.

Mit dem positiven Eindruck davon, wie interessant Mathematik sein kann und was sie konkret bewirken kann, verließen wir den Raum in der Hoffnung, die kommenden Jahrgangsstufen werden ebenfalls an solchen Terminen teilhaben können.

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Autor: Nicole Schuldt

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